Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности:
1) появление некоторого события А;
2) появление события , (события, являющегося дополнением А)
Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0 p 1). Вероятность P( ) события обозначим через q: P( ) = 1 - p = q.
Примерами таких испытаний могут быть:
1) подбрасывание монеты: А - выпадение герба; - выпадение цифры.
P(A) = P( ) = 0,5.
2) бросание игральной кости: А - выпадение количества очков, равного пяти, выпадение любого количества очков кроме пяти.
P(A) =1/6, P( ) =5/6 n клеток, расположенных в ряд, пронумеруем клетки, и результат каждого испытания будем отмечать так: если в i-м испытании событие А произошло, то в i-ю клетку ставим цифру 1, если событие А не произошло (произошло событиеÃ), в i-ю клетку ставим 0.
Если, например, проведено 5; 0; ... 0; 1; 1; 0

n цифр
Всего таких последовательностей можно составить . Так как испытания независимы, то вероятность P каждого такого результата определяется путем перемножения вероятностей событий A и Â в соответствующих испытаниях. Так, например, для написанного выше результата найдем
P = ppqpqpqq...qppq
Если в написанной нами последовательности единица встречается х раз (это значит, что нуль встречается n - x раз), то вероятность соответствующего результата будет pnqn-x независимо от того, в каком порядке чередуются эти x единиц и n - x нулей.
Все события, заключающиеся в том, что в n испытаниях событие A произошло x раз, а событие Ầ произошло n-x раз, являются несовместными. Поэтому для вычисления вероятности объединения этих событий (или суммы этих событий), нужно сложить вероятности всех этих и 6 черных шаров наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.
В приведенных выше обозначениях n=8; p=1/4; q=3/4; x=5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот: x=0,1,2,3,4,5.

Powered by Drupal - Design by artinet