Законы распределения непрерывной случайной величины

Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения, на

Кривая распределения f(x) приведена на рисунке

Ее математическое
Пример. Автобус ходит регулярно с интервалом 10 минут. Пассажир приходит на остановку в случайный момент времени. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X - времени ожидания автобуса. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придётся не больше двух минут?
Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , если её плотность вероятности f(x) имеет вид:

Кривая нормального распределения f(x) (нормальная кривая или кривая Гаусса) приведена на рисунке

Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а её дисперсия - квадрату параметра , т.е.

Рассмотрим влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. максимума кривой
.
При увеличении кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0 и называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.
Перечислим наиболее ва.
2. Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределённой по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит по абсолютной величине величину
равна

Следствие ("правило трёх сигм"). Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т.е.
Другими словами, если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале
Пример. Установлено, что цена некоторой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего бумаги;
б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден. ед.;
в) с надёжностью 0,95 определить максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).
Решение. Пусть нормально распределённая случайная величина Х - цена этой ценной бумаги (в ден. ед.) По условию задачи в течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75% - выше 90 ден. ед., т.е. P(X<88)=0,2; P(X>90)=0,75. Из этих равенств, используя свойство 1 найдём параметры распределения:

P(X<88) = 0.2 88 – a = -0,845σ - самостоятельно
Решив систему уравнений
,
получим
Чтобы с надёжностью 0,95 определить максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине) воспользуемся свойством 2.

Ответ: а) математическое ожидание (прогнозная цена) ценной бумаги
среднее квадратическое отклонение (риск) ценной бумаги
;
б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден. ед. составляет около 32%;
в) максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине) с надёжностью 0,95 составляет примерно 23,76 (ден. ед.)
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Powered by Drupal - Design by artinet